Bağinti-05


BAĞINTI
1)SIRALI İKİLİ

X ve y gibi iki nesnenin sırası önemli olarak (x,y) şeklinde gösterimine sıralı ikili denir.

ÖRNEK 1

(3,5) sıralı ikilidir.

UYARI 1

İkilide sıra önemli olduğu için a=b ise (a,b) ≠ (b,a)’dir.

UYARI 2

(a,b) ikilisi ile {a,b} kümesi farklıdır.İkilide sıra önemlidir.Kümede ise öğenin sırasının önemi yoktur.Yani (a,b) ≠{a,b}’dir.

UYARI 3

(a,b,c)’ye sıralı üçlü,(a,b,c,d)’ye sıralı dörtlü,......,(x1,x2,x3,...,xn)’e sıralı n’li denir.
(x,y)’de x’e birinci bileşen yada apsis,
y’e ikinci bileşen yada ordinat denir.

2)SIRALI İKİLİNİN EŞİTLİĞİ

İki sıralı ikilinin birinci bileşenleri birbirine ve ikinci bileşenleri de birbirine eşit ise bu sıralı ikililer eşittir. Yani (a,b) = (c,d) ( (a=c b=d)’dir.

ÖRNEK 1 ÇÖZÜM 1

(2x-1,x.y) = (7,20) ise x + y = ? 2x-1 = 7 ==> 2x = 8 ==> x = 4 x.y = 20 ==> 4y = 20 ==> y = 5
(x,y) = (4,5) ==> x + y = 4 + 5 = 9

ÖRNEK 2 ÇÖZÜM 2

(2x,4) = (y, x) ise y kaçtır? (2x,4) = (y, x) ( (2x = y 4 = x)
4 = x ==> x = 64 y = 2x ==> y = 2.64 = 128’dir.
UYARI 1

Sıralı n’lilerin eşitliliğinde (x1,x2,x3,....,xn) = (y1,y2,y3,...,yn ) ) x1 = y1 1 x2 = y2 2.... xn = yn ‘dir.






3)İKİ ALT KÜMENİN KARTEZYEN ÇARPIMI

A ve B iki küme olmak şartıyla birinci bileşeni A kümesinden,ikinci bileşeni B kümesinden alınarak elde edilen tüm sıralı ikililerin kümesine A ile B’nin kartezyen çarpımı denir ve AxB şeklinde gösterilir. AxB={(x,y)| xAA A y B}

UYARI 1

AxA=A2 AxAxAx.....xA=An şeklinde gösterilir.
n tane
ÖRNEK 1

A=A0,1,20 ve B= 2,42 kümeleri için AxB’yi ve BxA’yı yazınız.Grafiklerini çiz.Şema ile gösteriniz.

ÇÖZÜM 1

AxB=A(0,2),(0,4),(1,2),(1,4),(2,2),(2,4)( ==> Liste yöntemi ile
BxA=B(2,0),(2,1),(2,2),(4,0),(4,1),(4,2)( ==> Liste yöntemi ile

UYARI 2

AxBABxA

ÖRNEK 2 ÇÖZÜM 2

AxB=A(0,2)( BxA= (2,0)( AxBABxA olduğuna dikkat ediniz.Yani kartezyen çarpımın
değişme özelliği yoktur

ÖRNEK 3 ÇÖZÜM 3

A=Ax:-2 - x 3 B= 11 kümeleri için AxB= (-2,1),(-1,1),(0,1),(1,1),(2,1),(3,1)(
AxB’yi yazınız.

4)KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELLİKLERİ

1)AxA=A2
2)AxA==
3)AAB ise AxBBBxA ==> Yani kartezyen çarpımın değişme özelliği yoktur.
4)s(A) = a , s(B) = b ==> s(AxB) = s(A) x s(B) = a . b = s(BxA) VEYA s(AxA) = a . a = a2
5)(AxB)xC = Ax(BxC) = AxBxC
6)Dağılma özelliği:
a)Ax(B C)=(AxB) C (AxC)
b)Ax(B C)=(AxB) C (AxC)
7)AxB=A ==> A= B=
8)AAB ==> (AxC) (BxC)
9)(A(C C C D) ==> (AxC) (BxD)

5)DİK KOORDİNAT SİSTEMİ

Bir sıralı ikilinin birinci bileşenine A noktasının apsisi,ikinci bileşenine A noktasının ordinatı, sıralı ikiliye A noktasını koordinatları denir.
Yatay doğruya apsis düşey doğruya ordinat ekseni,eksenlerin bulunduğu düzlemede koordinat düzlemi veya analitik düzlem denir.
Apsis ve ordinat ekseni bu eksenlerin bulundukları koordinat düzlemi ile birlikte dik koordinat sistemini oluştururlar.Eksenlerin kesiştiği O(sıfır) noktasına başlangıç (Orijin) noktası denir.

ÖRNEK 1

A=A-1,0,1,2- olduğuna göre AxA kümesinin noktalarını dışarıda bırakmayan en küçük yarıçaplı çemberin yarıçapı kaç birimdir?

ÇÖZÜM 1

AxA=A(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2)(
AxA kümesini grafiği yanda çizilmiştir.AxA’nın noktalarını dışarıda bırakmayan
En küçük çemberin çapı KLP üçgeninde pisagor teoremi uygulanırsa;

KLK= =32 +32 = 3 2 br r = 1 . 3 2 = 332
2 2
6)BAĞINTI

A ve B boş olmayan kümeleri için AxB kümesinin her alt kümesine A’dan B’ye bir bağıntı denir. e simgesi ile gösterilir.
AxB : A’dan B’ye bağıntıdır.: bağıntısı için (x,y) ise bu durum yyx ile gösterilir ve y elemanı bağıntısı ile x elemanına bağlıdır diye okunur.

UYARI 1

U AxA ise bağıntısına A’dan A’ya bir bağıntı yada kısaca A’da bir bağıntı denir.

ÖRNEK 1

A=A0,1,2,3,40 kümesi veriliyor.Buna göre aşağıdaki bağıntıları liste yöntemi ile yazınız.
1) 1==(x,y)(AxA: y = x22 2) 2==(x,y)yAxA:x böler yA

ÇÖZÜM 1

1) 1==(0,0),(1,1),(2,4)( 2)22==(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,0),(2,2),(2,4),(3,0),(3,3),(4,0),(4,4)(

ÖRNEK 2

A=A0,1,2,3,4,50’da tanımlı ’==(x,y)(x + y = 7x bağıntısını liste yöntemi ile yazınız.

ÇÖZÜM 2

Ç= =(2,5),(3,4),(4,3),(5,2))
7)BAĞINTI SAYISI

A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere s(A)=a s(B)=b ise AxB’nin eleman sayısı a.b olur.
AxB’nin 2a.b tane alt kümesi olduğundan A’dan B’ye 2a.b tane bağıntı vardır.(2s(A).s(B))

ÖRNEK 1

A=Aa,b,ca B=B0,10 kümeleri veriliyor.A’dan B’ye en fazla kaç bağıntı yazılır?

ÇÖZÜM 1

s(A)=3 s(B)=2 Bağıntı sayısı = 2s(A).s(B) = 23.2 = 26 = 64

ÖRNEK 2

A=Aa,b,ca B= 1,31 ise
1)A’dan B’ye kaç tane bağıntı yazılır?
2)A’dan B’ye yazılan kaç tane 3 elemanlı bağıntı vardır?
3)A’dan B’ye yazılan 4 elemanlı bağıntılardan kaç tanesinde (a,3) bulunur,(b,1) bulunmaz.

ÇÖZÜM 2

AxB=A(a,1),(a,3),(b,1),(b,3),(c,1),(c,3)(
1)2s(A).s(B) = 23.2 = 26 = 64
2)(63 ) = 6.5.4 = 20
3.2.1
3)(a,3) elemanı olduğundan ve (b,1) elemanı olmadığından
(a,1),(b,3),(c,1),(c,3)( kümesinden 3 eleman almalıyız. (43 ) = 4 tane bağıntı yazılır.

8)BAĞINTI ŞEMASI VE GRAFİĞİ

-- A’da bir bağıntı ,(x,y) olsun.x ve y elemanları venn şemasında x. y. şeklinde okla birleştirilir.
-(x,x)-- ise bu durum venn şemasında .x2 şeklinde gösterilir.
-- bağıntısına ait elemanların birinci bileşeni yatay eksende,ikinci bileşeni düşey eksende olacak şekilde oluşturulan şemaya bağıntının kartezyen şeması yada grafiği denir.

ÖRNEK 1 ÖRNEK 2
A B





ÖRNEK 3

Yanda verilen Y bağıntısını liste yöntemi ile yazınız.

ÇÖZÜM 3

Ç==(1,2),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,3)(

9)BİR BAĞINTININ TERSİ

A’dan B’ye bir bağıntı ise ’daki ikililerin birinci ve ikinci bileşenlerinin yerlerini değiştirerek B’den A’ya bir bağıntı elde edersek bu bağıntıya ş’nın ters bağıntısı denir ve ’-1 ile gösterilir.Kısaca;

-1==(y,x)( (x,y)

ÖRNEK 1 ÖRNEK 2

Ö==(1,3),(1,4),(2,4)( A= 1,2,3,4,5,6) ve A’da bir bağıntı b==(x,y)( y = 2x, (x,y) AA ise -1=?
=-1==(3,1),(4,1),(4,2)( ==(1,2),(2,4),(3,6)( ==> -1==(2,1),(4,2),(6,3)(

10)BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ

A)YANSIMA ÖZELLİĞİ

A’da tanımlı bir bağıntı olsun..x x A için (x,x) ise bağıntısına yansıyan bir bağıntı denir.

UYARI 1

s(A)=n ise A kümesinde tanımlı bağıntılardan 2nn-n tanesi yansıyandır.

UYARI 2

U AxA, ==(x,y)(xxA,yAAA bağıntısının yansıyan olduğunu anlamak için “y” yerine “x” konur. Çıkan sonuç A kümesinde daima doğru ise yansıyandır.EN AZ bir eleman için yanlış oluyorsa b bağıntısı yansıyan değildir.

ÖRNEK 1

A=A0,1,20 ve A’da tanımlı ==(x,y)( y = x2 + x bağıntısı yansıyanmıdır?

ÇÖZÜM 1

y = x2 + x ‘de y yerine x koyalım O halde A kümesinin 1 ve 2 elemanları için bu
x = x2 + x ==> x2 = 0 ==> x=0 eşitlik yanlıştır. bağıntısı yansıyan bağıntı değildir.
B)SİMETRİK ÖZELLİĞİ

A’da tanımlı bir bağıntı olsun..(x,y)(( ve (y,x) oluyorsa bağıntısı simetrik bir bağıntı denir.

UYARI 1

U simetrik bir bağıntı ise (x,x) iken (x,x) olacağından -1= =’dır.

UYARI 2
s(A)=n ise A kümesinde tanımlı bağıntılardan 2nnnn tanesi simetrik bağıntıdır.

UYARI 3

Grafik olarak bir bağıntının simetrik olabilmesi için bağıntını her noktasının y=x doğrusuna göre simetriğinin olması gerekmektedir.
ÖRNEK 1

Ö==(x,y)( x + y = 4, x N, yNNN bağıntısını yazıp simetrik olup olmadığını gösteriniz

ÇÖZÜM 1

Ç==(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)( olduğu için simetrik özelliği vardır.

C)TERS SİMETRİK ÖZELLİĞİ

bağıntısı A kümesimde tanımlı bir bağıntı olsun xxy ve (x,y)yy iken (y,x,) ise bağıntısı ters simetriktir. Bu tanıma göre bileşenleri farklı olan ikililerden hiç birinin tersi bağıntıda yoksa o bağıntı ters simetrik bir bağıntıdır.

UYARI 1

Bileşenleri eşit olan ikililer bulunabilir.( ..(x,y)(( için (y,x) x = y )

UYARI 2

Ters simetrik bir bağıntının grafiğinde köşegene göre simetrik öğe yoktur.Köşegenlerin üzerindeki öğelerin bulunması ters simetriyi bozmaz.

UYARI 3
Simetrik olmayan bir bağıntının ters simetrik olması zorunlu değildir.
ÖRNEK 1

A=A3,5,73 kümesinde tanımlı ==(x,y)( x y bağıntısını ters simetrik özelliğinin olduğunu gösteriniz.

ÇÖZÜM 1

Ç==(3,3),(3,5),(3,7),(5,5),(5,7),(7,7)( ==> (3,3)((,(5,5),, ve (3,5) iken (5,3) ,(3,7),, iken (7,3) , (5,7),, iken (7,5) olduğundan ters simetriktir.

D)GEÇİŞME ÖZELLİĞİ

D bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.
x,y)xx (y,z)(( için (x,z) oluyorsa bağıntısı geçişkendir.

UYARI 1

(x,y)(( ’nın y ile başlayan öğesi yoksa bu durum geçişkenliği bozmaz.

UYARI 2
Geçişken bir G bağıntısında (x,y) ve (y,z) varken (x,z) de olmalı.(x,z)’nin olmadığı EN AZ bir örnek gösterilirse b bağıntısı geçişken değildir.

ÖRNEK 1
A=A1,2,3,4,5,6, kümesinde tanımlı ==(1,1),(1,2),(1,3),(2,3),(6,5)( bağıntısı geçişkenmidir?

ÇÖZÜM 1
(1,1)(( (1,2) ==> (1,2) (1,3) 3 ile başlayan eleman yok
(1,1)(( (1,3) ==> (1,3) (2,3) 3 ile başlayan eleman yok
(1,2)(( (2,3) ==> (1,3) (6,5) 5 ile başlayan eleman yok
O HALDE BAĞINTISI GEÇİŞKENDİR.

11)DENKLİK BAĞINTISI

A kümesi üzerinde tanımlı olsun.Eğer ’nın yansıma,simetri,geçişme özellikleri varsa ö bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.

ÖRNEK 1

A=A1,a,b1 kümesinde tanımlı ==(1,1),(1,a),(1,b),(a,a),(a,b),(a,1),(b,b),(b,a),(b,1)( bağıntısı bir denklik bağıntısımıdır?








ÇÖZÜM 1

a)YANSIMA ÖZELLİĞİ GEÇİŞME ÖZELLİĞİ

11A ==> (1,1) (a,a) (a,1) ==> (a,1)
aaA ==> (a,a) YANSIMA ÖZELLİĞİ (a,a) (a,b) ==> (a,b)
bbA ==> (b,b) VAR (b,b) (b,1) ==> (b,1) GEÇİŞME ÖZELLİĞİ
(b,b) (b,a) ==> (b,a) VAR
(1,a) (a,a) ==> (1,a)

SİMETRİ ÖZELLİĞİ

(1,a)(( ==> (a,1)
(1,b)(( ==> (b,1)
(a,b)(( ==> (b,a) SİMETRİ ÖZELLİĞİ ==> bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.
(a,1)(( ==> (1,a) VAR
(b,a)(( ==> (a,b)
(b,1)(( ==> (1,b)
==> Geri kalanlar uyuyor
NOT
Yansıma özelliği olan bağıntılar simetrik özelliğini bozmaz

12)DENKLİK SINIFLARI

A’da bir bağıntı olsun.Herhangi bir x A’ya A bağıntısı ile bağlı olan A’nın tüm y elemanlarının kümesine x’in denklik sınıfı denir.x ile gösterilir.Buna göre x = y y (x,y) ’dır.
(x,y) ise x ve y elemanları denklik bağıntısına göre denktir.x ile y’nin denkliği
x x y (mod ) biçiminde gösterilir.Örneğin b denklik bağıntısına göre 4ile 10 denktir.Bunu
4 ile 10 denktir.Bunu 4 4 10 (mod 3) biçiminde yazınız.

13)DENKLİK SINIFININ ÖZELLİKLERİ

1)Birbirine denk olan 2 elemanın denklik sınıfları aynıdır. 1 4 (mod 3)
2)Birbirine denk olmayan 2 elemanın denklik sınıflarının kesişimi boş kümedir. 112=2
3)Denklik sınıflarının birleşimi A kümesini verir. 11223=A

ÖRNEK 1

A=A1,2,3,4,5,6,7,8,91kümesinde tanımlı k==(x,y) ( x–y = 2.k k Z bağıntısının özelliklerini yazınız.

ÇÖZÜM 1

a) Sıfır 2’nin sıfır katıdır.Buna göre;
1-1=2.k ==> 0=2.k ==> (1,1) ==> k tamsayı olmak üzere exxx, x-x= 2.k ==> 0=2.k ==> (x,x) olduğundan ’nın yansıma özelliği vardır.
b)(x,y)(( ==> x – y = 2.k ==> -1.(x – y) = 2.k.(-1) ==> y – x = 2.-k ==> (y,x)

Simetri özelliği vardır.
c) (x,y) (y,z) ==> (x,z) (x,y) ==> x – y = 2.k
(y,z) ==> y – z = 2.t
x – z = 2(k + t) ==> x – z = 2p ==> (x,z)
’nın yansıma,simetri,geçişme özellikleri olduğundan
denklik bağıntısıdır. Geçişme özelliği vardır.

14)SIRALAMA BAĞINTISI

A’da tanımlı bir bağıntı olsun.a’nın yansıma,ters simetri,geçişme özellikleri varsa bir sıralama bağıntısıdır.Eğer bağıntısı kümenin bütün elemanlarını sıralıyorsa tüm sıralama bağıntısı, bazı elemanları sıralıyorsa kısmi sıralama bağıntısı denir.

ÖRNEK 1

A=A0,1,2,30 kümesi üzerinde tanımlı ==(x,y) : x ( y bağıntısı tanımlanıyor. ’nın sıralama bağıntısı olduğunu gösteriniz.

ÇÖZÜM 1

Ç==(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)(
a) (0,0),(1,1),(2,2),(3,3)(( olduğundan yansıyandır.
b) x x y iken y x olamayacağından (x,y) iken (y,x) ’dır.’ ters simetriktir.
c) x y ve y z iken x z olduğundan (x,y) ve (y,z) iken (x,z) ’dır.’ geçişkendir.

SONUÇ: sıralama bağıntısıdır.

ÖRNEK 2

A=A1,2,41 kümesinde tanımlı ==(x,y) : x böler yx bağıntısının tam sıralama bağıntısı olduğunu gösteriniz.

ÇÖZÜM 2

ÇÇÇ(1,1),(1,2),(1,4),(2,2),(2,4),(4,4)(
a)Yansıma özelliği ==> Kümenin her elemanı kendisini böldüğünden yansıyandır
b)Ters simetrik özelliği ==> (2,4)(( iken (4,2) olduğu için ğ ters simetriktir.
c)Geçişme özelliği ==> (1,2) iken (2,4) , (1,4),, iken (4,4) (diğerlerinde de aynı) olduğundan geçişme özelliği vardır.
Ayrıca A’nın her elemanı ’da bulunduğundan ’ tam sıralama bağıntısıdır.

ÖRNEK 3

Kan grupları kümesi=k0,A,B,AB0 kümesinin kısmi sıralama bağıntısı olduğunu gösteriniz.





ÇÖZÜM 3

Ç==(0,0),(A,A),(B,B),(AB,AB),(0,A),(0,AB),(A,AB),(0,B),(B,AB)( ’nın yansıma,ters simetri,geçişme özellikleri vardır.
Kan grubu A ve B olan insanlar birbirlerinden kan
alamadıkları için kısmi sıralama bağıntısıdır.










































KAYNAKÇA

*DERS KİTABI, LİSELER İÇİN MATEMATİK 1, M.E.B, ANKARA 1994

*DR.MUHAFIZ NECATİ,DR.HASAN KARA, ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK OKULA YARDIMCI LİSE 1 MATEMATİK, YÖNTEM YAY., ANKARA 1993, 9.BASIM

*AYDIN NESİBE,KAFALI YILMAZ,ÖZKÖSELER ÖKKEŞ, ÖYS MATEMATİK, AYDIN YAY., ANKARA 1992

*DERMAN ZEKİ,GÜLMEZ SERDAR,ÖZBEK MEHMET,ÖSS’YE HAZIRLIK OKULA YARDIMCI MATEMATİK 1, ZAFER YAY., İSTANBUL 1999

*ALTINÖZ AYDIN, MATEMATİK 1, MEGA YAY., İSTANBUL 1992

*ZİRVE DERGİLERİ CİLT 14-15, GÜVENDER YAY., ANKARA 1994


































T.C.

MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI

KONYA İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ

SELÇUKLU ANADOLU LİSESİ




ÖDEVİN KONUSU

BAĞINTI VE ÖZELLİKLERİ





ÖDEV DANIŞMANI

MEHMET ÖZDEMİR






HAZIRLAYAN

SERHAT OSMAN DOĞAN

9-A NO:18







KONYA

2001-2002