Fonksiyonlarin Bileşkesi






FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ















F: A → B, x → y=F (x) Ve g: B → C, y→ z=g (x) fonksiyonları için, gof : A → C x → Z=(gof)(x)=g[f(x)] fonksiyonuna, f ile g’nin bileşke fonksiyonu denir. gof yazılışındaki “o” simgesi, bileşke simgesidir.

BİLEŞKE FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

F,g ve h fonksiyonları için ;

1) Fonksiyonlarda bileşke işleminin degişme özelligi yoktur. Yani genel olarak fog=gof dir.

Örnek : f :R → R, f(x)=3x-1; g:R →R, g(x)=2x+1 ise (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyonlarının kuralını bulalım.
Çözüm : (fog)(x)=f(g(x))=f(2x+1)=3(2x+1)-1=6x+2
(gof)(x)=g(f(x))=g(3x-1)=2(3x-1)+1=6x-1
fog = gof dır.
• Ancak, fog = gof olduğu durumlar da olabilir.
Örnek : R → R ye, f(x)=2x-1 ve g(x)=2-x fonksiyonları veriliyor. Fog ve gof fonksiyonlarının kurallarını bulalım :
Çözüm: (fog)(x)=f[g(x)] (gof)(x)=g[f(x)]
=f(2-x) =g(2x-1)
=2(2-x)-1 =2-(2x-1)
=3-2x =3-2x
Burada, (fog)(x)=(gof)(x)=3-2x olduğu görülüyor. Ancak bu örnekte fog = gof olması, fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliğinin olduğunu göstermez.

2) (fog)oh=fo(goh) birleşme özelligi vardir.

Örnek: R → R, f(x)=2x+1, g(x)=3x-1, h(x)=5x ise, [fo(goh)](x)=[(fog)oh](x) kuralını bulalım.

Çözüm:[fo(goh)](x)=f(g(h(x)))=f(g(5x))=f(3.(5x)-1)=30x-1
[(fog)oh](x)=f(g(h(x)))=f(g(5x))=f(3(5x)-1)=30x-1
(fog)oh=fo(goh) dır.


3) I birim (özdeşlik) fonksiyonu ve f bir fonksiyon olmak üzere foI=Iof=f tir. I bileşke fonksiyonuna göre birim (etkisiz) fonksiyondur.

TEOREM : I birim fonksiyon ise , Iof=foI=f dir.


4) I birim fonksiyon olmak üzere, fof=fof=I dır.

Örnek: (fof)(3x-1)=14 ise x kaçtır ?

Çözüm: (fof)(3x-1)=I(3x-1)=3x-1=14 - x=5 tir.


5) (fog)=g o f dir.


6) F fonksiyonu için (f ) =f dir.

Örnek:Tanımlı olduğu değerler için f(x)=_2 ve (fog)= x+1 ise g(x) nedir? x-3 2x-1

Çözüm: (fog ) (x) =((g ) of )(x)= (gof )(x)= x+1
2x-1
(gof of)(x)= x+1 of(x), g(x)= x+1 O 2 = 2/ (x-3)+1
2x-1 2x-1 x-3 2(2/x-3)-1

=x-1 . x-3 = x-1 ' dir.
x-3 7-x 7-x








ÖRNEKLER



1) F: R → R, f(x)=ax+1
g: R → R, g(x)=3x+b fonksiyonları veriliyor. Fog birim fonksiyon ise a-b nin değeri kaçtır ?

Çözüm: (fog)(x)=(ax+1) o (3x+b)= a(3x+b)+1=3ax+ab+1=x
3a=1 → a=1/3
ab+1=0 → b= -3
a-b=1/3-(-3)=10/3

2) f ve g ; 1-1 ve örten fonksiyonlar, (fog )(x)=2x-3, gof(x)=5x-1 ise (fof)(2) nin değeri kaçtır ?

Çözüm: [(fog )o(gof)](x)=(2x-3)o(5x-1)=2(5x-1)-3
(fog ogof)(x)=(fof)(x)=10x-5
(fof)(2)=10.2-5=15 'dir.

3) (gof)(x)= 2x+1 , g(x)=x+3 ise f(x) fonksiyonu nedir ?
x-1

Çözüm: (gof)(x)=g(f(x))=f(x)+3=2x+1 f(x)=2x+1 -3=-x+4
x-1 x-1 x-1

4) Tanımlı olduğu değerler için f[ 1 ]= _ x ise f( 1 ) nedir ?
x-2 3x-1 x



Çözüm : y= 1 f(x)=[2x+1 /x] / [3(2x+1/x)-1= 2x+1 . x/5x+3 =2x+1/5x+3
x-2 f(1/x)=[(2.1/x+1) / 5.1/x+3=2+x/5+3x

y = 2x+1
x

5) 2x+1, x>1 x+2, x>0
f: R→R, f(x)= { x+1, x<1 g: R→R, g(x)= { 2x-1, x<0 ise
(fog)(-1)+(gof)(2) nin toplamı kaçtır ?

Çözüm : (fog)(-1)=f(g(-1))=f(2(-1)-1)=f(-3)=(-3)+1=10
(gof)(2)=g(f(2))=g(2.2+1)=g(5)=5+2=7
(fog)(-1)+(gof)(2)=10+7=17 dir.




6)












f:R → R, y=f(x) biçiminde tanımlanan f(x) fonksiyonuna göre;
a)(fof)(3) kaçtır ?
b)(fof)(-7) kaçtır ?
c)(fof)(x-2)=-2 olan x lerin toplamı kaçtır ?

Çözüm: Grafiğine göre x< -4 için f(x)=5, f(-2)=f(3)=f(6)=0, f(0)=-2 V f(5)=4
a)(fof)(3)=f(f(3))=f(0)=-2 dir.
b) (fof)(-7)=f(f(-7))=f(5)=4 tür.
c)(fof)(x-2)=f(f(x-2))=-2 → f(x-2)=0 olmalıdır. → x-2=-2; x-2=3;x-2=6 dır.
X=0; x=5; x=8 dir. Toplam x, 0+5+8=13


7) f(x)=4x-1 (g of)(x)=2x+1 dir. g(x)=?

Çözüm: (g of)(x)=2x+1→ (g of) (x)=__x-1 → (f og)(x)=_x-1
fo(f og)=g olduğundan 2 2
g(x)=(4x-1)o(x-1/2)
g(x)=4. x-1/2=2x-3 bulunur.

8) f:R → R g:[2,+~) → [3, +~) f(x)=3x-2 ve g(x)=x-4x+7 dir. (g of) (s) nedir?

Çözüm: f(x)=3x-2 → f (x)=x+2 / 3 → (g of) (s)=(f og)(s) → f [g(s)] → f (12) → 12+2 / 3 → 14 / 3 olur.

9) f(x)=ax+3, g(x)=5x+b ve (gof)(x) birim fonksiyon ise a.b çarpımı nedir?

Çözüm: (gof)(x)=g(ax+3)
=5(ax+3)+b
=5ax+15+b
→5ax+15+b=x
→5a=1 ve 15+b=0
→a=1/5 ve b= -15
→a.b=1/5.(-15)= -3 bulunur.


10)










Şekilde R →R ye y=f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir. (fofof)(-3) neye eşittir ?

Çözüm: (fofof)(-3) ifadesinde sondan başlayarak,
f(-3)=a
f(a)=o → (fofof)(-3)= c bulunur.
f(o)=c


11) g:R →R, g(x)=x-2
f:R → R, f(xy)=x+2y olduğuna göre, (gof)(2,1)= ?
3x-y

Çözüm: f(2,1)=2+2 = 4 g(4)=4 -2=-6
6-1 5 5 5 5
(gof)(2,1)=g[f(2,1)]= g(_4_)= - _6_ tir.
5 5

12) f(x)=x-3 + 7-x fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir ?

Çözüm: x-3> 0 V -x>0 olmalıdır.
x-3>0 --- x>7
En geniş tanım kümesi [3,7] kapalı aralığıdır.

13) f ve g fonksiyonları R de bire-bir örten fonksiyonlardır.(f og)(x)=x-5 / 2 ve f(3)=2 ise g(2) nedir?




Çözüm: f og =(gof) olduğundan, (fog)(x)=(gof) (x)=x-5/2 → (gof)(x)=2x+5 tir. Buna göre,
(gof)(x)=2x+5 → (gof)(3)=2.3+5
g(f(3))=11
g(2)= 11 dir.

14) I: x →I(x)=x birim fonksiyonu ile f(x)=2x-1/x+3 ile tanımlı f fonksiyonu veriliyor.gof=1 ise g(1) nedir?

Çözüm: f(x)=2x-1/x+3 → g(x)=f (x)=-3x-1/x-2 olduğundan,
g(1)=-3.1-1/1-2=-4/-1= 4 tür.

15) I:x → I(x)=x ve (f oI)(x)=-5x+4/x+2 olduğuna göre, f(-3) nedir?

Çözüm: I birim fonksiyonu bileşke işleminde etkisiz olduğundan, f oI=f dir. Öyleyse, (f oI)(x)=-5x+4/x+2 → f (x)=-5x+4/x+2
f(x)=-2x+4/x+5 Buna göre, f(-3)=-2(-3)+4/-3+5=5 tir.
x/2,x çift ise
16) f:N → N fonksiyonu f(x)=2x-1 ile, g:N → N fonksiyonu g(x)= 0, x tek ise ile tanımlıdır. (gof )(6)=?

Çözüm: (gof)(6)=g(f(6))=g(2.6-1)=g(11)=0
(gof)(6)=0

17) f: R → R ve g: R → R fonksiyonları, f(x)= x ve g(x)=3 ile veriliyor. (fog)(x) neye eşittir?

Çözüm: (fog)(x)=f(g(x))=f(3 )=(3 ) = 3
(fog)(x)=3


18) a,b ER dir. F:R → R fonksiyonu, f(x)=x+a ile tanımlıdır.
g:R →R fonksiyonu, g(x)=bx ile tanımlıdır. (fog)(x)=(gof)(x) olması için a ile b arasında nasıl bağıntı olmalıdır ?

Çözüm:
(fog)(x)=f(g(x))=f(bx)=bx+0
(gof)(x)=g(f(x))=a(x+a)=b(x+a)=bx+ba dır.
(fog)(x)=(gof)(x) →bx+a=bx+ba
→a=ba
→a(1-b)=0 dır.





19) f:R →R fonksiyonu, bire-bir örten fonksiyondur. (f of).(2x+1)=9 ise x nedir?

Çözüm: f of birim(özdeş) fonksiyon olduğundan,
(f of)(2x+1)=2x+1 dir.
(f of)(2x+1)=9 → 2x+1=9
x=4 tür.

20) R den R ye f ve g fonksiyonları için (gof)(x)2x+3, g(x)=x-5 tir. f(a)=2 ise a nedir ?

Çözüm: g(x)=x-5 ise, (gof)(x)=9(f(x))=f(x)-5 tir.
(gof)(x)=2x+3 → f(x)-5=2x+3
f(x)=2x+8 dir. Buna göre f(a)=2 → 2a+8=2
a=-3 tür.

21) f ve g fonksiyonları için f(x)=x+2/x-1 (gof)(x)=3x+4 olduğuna göre,a(-2) hangi sayıya eşittir ?

Çözüm: y=f(x)=x+2/x-1 ise, x=y+2/y-1 dir. Buna göre,
(gof)(x)=3x+4 → g(f(x))=3x+4
g(y)=3.y+2/y-1 +4 dür.
Öyleyse, 9(2)=3. -2+2/-2-1 +4= 3.0+4=4 tür.


22) f: R → R fonksiyonu f(x,y)=[(2x+1),(3y-2)] ile tanımlıdır. (fof) (2,-2) nedir ?
Çözüm: f(x,y)=(2x+1, 3y-2) ise
(fof)(2,-2)=f(f(2,-2))
=f(2.2+1, 3(-2)-2)
=f(5,-8)
=(2.5+1, 3(-8)-2)
= (11, -26) olur.

23) f: R → R, x → f(x)= 2 fonksiyonu için; (fof)(2)= ?

Çözüm: (fof)(2)=f(f(2))
→ f(2 )
→f(2 )= 2
→2
→2

24) R de tanımlı f ve g fonksiyonlrı için, f(x)=1/3x+2, g(x)=ax-b dır. fog nin birim fonksiyon olması için a ne olmalıdır ?




Çözüm: (fog)of(g) → 1/3 (ax-b)+2
ax-b/3 + 2/(3)
ax-b+b/3
ax/3
x'in katsayısının 1 olması için a' nın 3 olması lazım. Bu durumda a=3 için 3x/3=x

25) f: R→ R fonksiyonu, f(x)= 3-2x, x<0 ise
3x+c,x>0 ise ile veriliyor. (fof)(-1)=18 ise c=?

Çözüm: (fof)(-1)=18
f(f(-1))=18 (3-2x, x<0 ise)
f(3-2(-1)=18
f(5)=18 (3x+c, x>0 ise)
f(3.5+c)=18
15+c=18
c=3


x-x, x>-2 ise
26) f:R→ R, f(x)= { x+3, -2<x<1 ise
2-x, x>1 ise fonksiyonu veriliyor. (fof)(-2) değeri kaçtır ?

Çözüm: (fof)(-2)=
f(f(-2))= (-2< x>1 ise f(1) (x>1 ise)
f(-2)=x+3 f(1)=2-(1)
→ -2+3 f(1)=1
→ -1
(fof)(-2)=1


27) x+x-1, x<0 ise
f(x)= 3x+2, 0<x<5 ise
-x+4, 5<x ise (fofof)(-2)= ?


Çözüm: fof(f(-2)) f(f(1))=
f(-2)=4-2-1 (x<0 ise) f(1)=3.1+2 (0<x<5 ise)
=1 f(1)=5

f(5)=-25+4
= -21 (5<x ise)
(fofof)(-2)= -21

28) f: R → R, f(x) = 2x-4, x>0 ise
x , x<0 ise fonksiyonu veriliyor. (fof)(x)=4 eşitliğini sağlayan x sayılarının toplamı kaçtır ?

Çözüm: f(f(x))=4
x>0 → f(x)= 2x-4 = 4
→ 2x=8
→ x=4

x<0 → f(x) → x=4
→x=2
4+2=6


29) f:R→ R fonksiyonu f(x)= 2x+1
g:R→ R fonksiyonu g(x)= x+k ile veriliyor. (gof) (1)=2 olduğuna göre "k" neye eşittir ?

Çözüm: (f o g )(1)=2 f (x)= x-1/2
f (g (1))=2 g (x)= x-k
f (1-k)=2 g (1)=1-k
f (1-k)=1-k-1/2=2
→ -k= 4
→ k= -4


2x-1, x<1 ise
30) f ve g fonksiyonları R den R ye f(x)= 1-x, 1<x<4 ise ve 2, x>4 ise

2x, x>0 ise
g(x)= x+1, x<0 ise kuralları ile tanımlanıyor. g [(fof)(2)] ifadesi kaça eşittir ?

Çözüm: g [(fof)(2)]=(parantezin içi yapılır)
(fof)2= f(f(2))= (1<x<4)
f(2)=1-2 → -1
f(-1)=2. -1-1 (x<1 ise)
→ -3

g (f(f(2))=g (f(-1))=g (-3) (x<0)
= x-1
= -3-1
= -4







...