Karmaşik Sayilar-sorular

SORU :
 
Z4 + (1 + i ).Z2 + 2 = 0 denklemini kompleks sayılar kümesinde çözünüz.
 
Çözüm:
 
Öncelikle değişken dönüşümü uygularız ve Z2 = x olarak alırız. Böylelikle denklem aşağıdaki yapıya dönüşmüş olur:
 
x2 + ( 1 + i ).x + 2 = 0
 
∆ = ( 1 + i )2 – 4.1.2 = 1 + 2.i + i2 – 8 = - 8 + 2.i
-------------------------------------------------------------------------------------------
Bir sonraki aşamada bu ifadenin kareköküne ihtiyaç duyacağımızdan
 
Z21 = - 8 + 2.i alalım.
 
Z1 = a + i.b kabul edilirse
 
( a + i.b )2 = - 8 + 2.i olacaktır.
 
a2 – b2 + 2.a.b.i = - 8 + 2.i ve │( a + i.b )2 │ = │- 8 + 2.i │
 

 
burada her ne kadar (1) ve (3) üncü denklemler teknik olarak çözüme yeterli olsalar da işimizi kolaylaştırmak bakımından (2) inci denklemi de üretmeyi tercih ediyoruz. Burada a ve b değerlerini bulmak için (1) ve (2) nci denklemlerden, işaretlerini kontrol için ise ikinci denklemlerden yararlanacağız.
 
(1) + (2) den
(2) – (1) den
(3) ten a ve b aynı işarete sahiptirler. O halde,
 
ya da
 
Not: Burada olduğunu unutmamak gerekir.
---------------------------------------------------------------------------------------------
Tekrar çözümümüze dönecek olursak,
 

 
 
,
 
 
Burada dikkat edilecek olursa x3 ve x4 aslında x1 ve x2 ile aynı olmaktadır. Buradan da ters dönüşüm yapacak olursak,
 
Z2 = x1 veya Z2 = x2 den, ( Z = c + i.d olmak şartıyla )
 
(4) veya (5)
 
 

( I ) + ( II ) den
 

( II ) – ( I ) den
 

( III ) ten c ve d zıt işarettedir. O halde,
 

 

 

( I ‘) + ( II’ ) den
 

( II ‘) – ( I’ ) den
 

 
( III’) den c ve d nin işaretleri aynıdır.