Karmasiksayilar Kutupsal Koordinatlari

KarmasikSayilar
Gercel sayilar cisminin cebirsel olarak tamlastirilmasiyla elde edilen kumedir. Bir z karmasik sayisi
z = a + bi
seklinde yazilabilir. Burada a ve b gercel sayilardir, i ise i2=-1 sartini saglar ( bu sarti saglayan diger sayi -i'dir. i, argumani? π/2 olanidir). a'ya z'nin gercel kismi, b'ye sanal kismi denir. a+bi'nin eslenigi a-bi olarak tanimlanir. Karmasik sayilari gostermek icin kutupsal koordinatlar? da kullanilir.
Cebirsel tamliktan dolayi, karmasik sayi kaysayili her polinomun bir (karmasik) koku vardir. Dolayisiyla n. dereceden bir karmasik sayi katsayili polinomun n koku vardir.


Forumdan ilgili basliklar ve alintilar:

Karmasik sayi degerli fonksiyonlarla ilgili:
illan:
Karmaşık sayıları öğretmeye başladıklarında ilk olarak kök -1=i yi öğretirler. Ama bu ifadede bi yanlışlık yok mu? kök -1, kök 1/-1 diye yazılabilir. kök1= 1, yani 1/kök(-1)=i kök-1 in i'ye eşit olduğunu başta söylüyorlardı; kök-1 yerine i yazarsak 1/i=i burdanda i2=1 oluyor. Halbuki konunun ilerleyen yerlerinde i2=-1 derler yani 1=-1 mi?
Ilgar:
Simdi karekok fonksiyonunu kullanirken dikkat etmek gerekir.
Gercel sayilardan baslayalim. Pozitif bir a sayisi icin, x2=a kosulunu saglayan iki sayi vardir. Bu sayilar mutlak degerce esittirler ama isaretleri farklidir. Biz, kok(a)'yi, bu iki sayidan pozitif olani diye tanimliyoruz. Negatif gercel sayilarin bu anlamda karekoku yoktur.
Fakat karmasik sayilara gecince, her karmasik z sayizi icin w2=z sartini saglayan tam olarak 2 w karmasik sayisi vardir (z=0 durumunda 0 ikinci derece koktur diyoruz diyoruz, yani yine 2 kok var). Fakat gercel sayilardaki gibi pozitiflik/negatiflik olmadigi icin, gercel sayilardaki karekok tanimi karmasik sayilarda gecmez. Her z sayisi olarak kok(z) olmaya aday iki sayi vardir, hangisini sececegiz?
Ortaya cikan kok(z) fonksiyonunun surekli, hatta tuevlenebilir (analitik) olmasini istiyoruz dogal olarak. O zaman yapilabilecek 2 sey var:
Bildiginiz gibi karmasik sayilari kutupsal koordinatlarda yazabiliriz. z=r*eit seklinde yazabiliriz her sayiyi. burada r=|z| ve t de z sayisina karsilik gelen vektorun pozitif x ekseni ile yaptigi aci. Bu arada
eit = cos(t) + isin(t)
oldugunu hatirlatalim. Bu dirimda karesi z olan 2 sayi goruyoruz:
kok(r) * eit/2 ve -kok(r) * eit/2
Buradaki kok(r), gercel sayilardaki kok fonksiyonu.
Iste kok(z)'nin tanimi olarak bu ikisinden birini sectik mi sorun hallolur. Yalniz burada dikkat edilecek bir nokta var:
t acisini nasil olcecagiz? pozitif x ekseni uzerindeki bir noktanin acisini 0 mi yoksa 2π mi alacagiz? Yoksa 4π mi?
Isin dogrusu, bu is ilk once yapilir. Once acilarin nasil olculecegi belirlenir. Sonra yukaridaki iki secenekten biri kok fonksiyonu olarak secilir. Dikkat ederseniz bu durumda kok(1)=-1 olmasi mumkun, sectiginiz foksiyona bagli. Yine sectiginiz fonksiyona bagli olarak da kok(-1)=i ya da kok(-1)=-i olabilir.
Simdi azicik ileri duzey kacacak ama, sunu da bir dusunun: Simdi diyelim ki x ekseni uzerindeki pozitif noktalarin acisi olarak 0'i belirledik. Saatin ters yonunde orijin etrafinda dondukce acimiz artacak, pozitif y ekseninde π/2, negatif x ekseninde π, negatif y ekseninde 3π/2, x eksenine tekrar geri dondugumuzde (tam bir tur) aci 2π olacak. Turlamaya devam ettikce aci 4π, 8π,... seklinde gidecek.
Diyelim ki z=r * eit ise, kok(z)'yi
kok(r) * eit/2
olarak sectik. Guzel. Simdi 1+0i sayisini dusunun. Yani 1. Bunun kutupsal koordinalardaki sekli
1+0i = 1 * ei*0 = ei*0
cunku pozitif x ile aradaki aci 0 (sacimi oyle yapmistik. Bu durumda
kok(1+0i) = ei*(0/2) = e0 = 1
Simdi 1+0i noktasindan baslayarak orijin etrafinda bir tam tur atarak ayni noktaya geri donelim. Artik x ekseniyle yaptigimiz aci 2Pi. Yani
1+0i= 1 * e2i*π
dolayisiyla
kok(1+0i) = 1 * ei*π = ei*π = -1
cunku ei*π = cos(π) + isin(π) = -1 dir.
Bir tur attik ve baslangicta kok(1)=1 iken, yolun sonunda kok(1)=-1 oluverdi!
Olayda bir gariplik yok. Bundan dolayi, kok(z) fonksiyonu bir COKDEGERLI FONKSIYONDUR. Bu terim aslinda biraz aldatici: Asil soylenmek istenen sudur: kok(z) iyi tanimli degildir, dolayisiyla kok(z) bir fonksiyon degildir. Bir tur atip ayni noktaya geri donunce farkli bir deger veriyor cunku.
Amaaa...
Eger kendimizi orijin etrafinda bir tam tur atamayacagimiz bir kumeyle sinirlarsak...Mesela karmasik sayilar duzleminden negatif x ekseninin cikarilmasiyla elde edilen kume (buna kesik duzlem denir)...
Iste o zaman kok(z) diye tanimladigimiz sey gercek anlamda bir fonksiyon olur. Her noktada bir ve yalniz bir deger alir.
Simdi senin sorundaki olaya gelelim:
Eger pozitif x ekseni uzerinde aciyi 0 secersek ve z=r*e^(it) icin kok(z)'yi
kok(z)=kok(r) * eit/2
olarak tanimlarsak, ve de kok(z)'yi iyi tanimli yapmak icin kendimizi bir kesik duzlemle sinirlarsak... Diyelim ki duzlemden negatif y eksenini cikarmakla elde edilen kume... Bu kume uzerindeki noktalarin acilari -π/2 ile +3π/2 araligi arasinda degisir ( pozitif x ekseni uzerinde sifir).
Bu durumda negatif x ekseni uzerinde acimiz Pi'dir yani,
-1 = ei*π ve 1 = ei*0 =e0
Bu durumda
kok(-1)= ei*(π/2) = i
olur (kosinus/sinus acilimindan cikar hemen)
Ancak: 1/-1 = e0/ei*π = e-i*π
olur. Cunku bildiginiz gibi ea/eb=ea-b dir.
Bu durumda
kok(1/-1) = kok(e-i*π)
=e-i*π/2= -i
olur (kosinus/sinus acilimi).
Yani
kok(-1)= i kok(1/-1) = -i
Taraf tarafa carparsak kok(1)=1 gelir, bunda da bir celiski yok.