Polinomlarda Işlemler

POLINOMLARDA İŞLEMLER

Polinomlarda Toplama İşlemi
A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.
A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0
Örnek
P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 1, Q(x) = 3x2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.
Çözüm
P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + 3) x + 1 + = x3 + 5x2 + ( 3-3) x + 5 dir.
Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

1. Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.
2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
4. Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.
5. Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.


İki Polinomun Farkı

P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.
P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.

Örnek
A(x) = 5x4 + x3 – 3x2 + x + 2 ve

B(x) = - 5x4 + x3 + 2x2 + polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım.

Çözüm
B(x) = -5x4 + x3 + 2x2 + ise, -B(x) = 5x4 - x3 – 2x2 - dir.
A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5x4 + x3 – 3x2 + x + 2) + (5x4 - x3 –2x2 - )
= (5 + 5)x4 + (-)x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 - )
= 10x4 – x3 – 5x2 + x - olur.
Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.
Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.


Polinomlarda Çarpma İşlemi

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.
anxn ile bkxk teriminin çarpımı
anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.
Yani (5x3) . (-2x4) = 5 . (-2) x3+4 = -10x7
Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))




Örnek
A(x) = 3x4 + 1, B(x) = x2 + x
C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor.
a) A(x) . B(x)
b) B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.
Çözüm
a) A(x) . B(x) = (3x4 + 1) . (x2 + x)
= 3x4 . x2 + 3x4 . x + x2 + x
= 3x6 + 3x5 + x2 + x

b) B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 – x + 1)
= x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1
= x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1
= x4 + x + 1 bulunur.

Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır.

1. Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir polinomdur.
2. Değişme özelliği vardır.
3. Birleşme özelliği vardır.
4. Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur.
5. Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur.
Yani P(x) = x2 polinomunun tersi 1/x2 ifadesi polinom değildir.
6. Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
A(x) . (B(x) + C(x)) = A(x) . B(x) + A(x) . C(x)




Polinomlarda Bölme İşlemi

A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü

A(x) B(x)
* T(x)
T
.
-___________
R(x)

Burada A(x) = B(x) . T(x) + R(x) şeklinde yazılır.
Bu bölme işlemi yapışırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir.

1. Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır.
2. Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır.
DerB(x) < derA(x)

3. Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır.
Der R(x) < der B(x)

4. R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir.
5. der A(x) = der B(x) + der T(x)

der = der A(x) – der B(x) dir.





Örnek
P(x) = x4-2x2 + x 5 polinomunu
Q(x) = x2 + 3x – 1 polinomuna bölelim.

x4 – 2x2 + x + 5 x2 + 3x – 1
_____________ = x2
x2- 3x + 8

± x4 ± 3x3 ± x2 = -3x
-__________________
-3x3 – x2 + x + 5 = 8
±3x3 ± 9x2 ±3x
-_________________
8x2 – 2x + 5
± 8x2 ± 24x ±8
-_________________
- 26x + 13

Bölüm : x2 – 3x +
Kalan : -26x + 13
Şekil 1