Pisagor Teoremi



DİK ÜÇGENLERİN PİSAGOR BAĞLANTILARI

Pisagor teoremi

ÜMatematikte, Pisagor Teoremi, Öklid geometrisinde bir dik üçgenin 3 kenarı için bir bağıntıdır. Bilinen en eski matematiksel teoremlerden biridir. Teorem sonradan İÖ 6. YY'da Yunan filozof ve matematikçi Pisagor'a atfen isimlendirilmiş ise de, Hindu, Yunan, Çinli ve Babilli matematikçiler teoremin unsurlarını, o yaşamadan önce bilmekteydiler.

Pisagor teoremin bilinen ilk ispatı Öklid'in Elementler eserinde bulunabilir.
]

Teorem






3-4-5 üçgeni için Pisagor teoreminin gösterimi

a ve b bir dik üçgenin iki dik kenarının uzunlukları, c de hipotenüsün uzunluğu ise, bu uzunluklar için aşağıdaki ilişki doğrudur:


Teorem sözlü olarak, "Bir dik üçgende, dik kenarlar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamı, hipotenüsün üzerine kurulan karenin alanına eşittir." biçiminde ifade edilebilir. Bu durum yandaki şekilde gösterilmiştir.
]

Teoremin tersi

Pisagor teoreminin tersi de doğrudur. Yani, Öklid geometrisinde, c2 = a2 + b2 ilişkisinin geçerli olduğu tüm üçgenler, dik üçgendir.
]
Teoremin görsel bir kanıtı





Yukarıdaki şekilde, bir dik üçgenin hipotenüsü üzerine çizilmiş bir kare ve bu karenin diğer üç kenarına çizilmiş, ilk dik üçgene eş dik üçgenler görülmektedir. Bu dört dik üçgen ve karenin birleşiminden ortaya çıkan şekil de bir karedir. Bu karenin alanı kenar uzunluğunun karesi

A = (a + b)2
A = a2 + 2ab + b2

ya da kareyi oluşturan şekillerin alanlarının toplamı
A = 4(ab / 2) + c2
A = 2ab + c2

biçiminde yazılabilir. Bu iki ifade birbirine eşitlenip sadeleştirmeler yapıldıktan sonra
a2 + b2 = c2

elde edilir. Kanıtlanması istenen de buydu.
Ayrıca bu dik üçgende a<b<c, a tekse:
a2=b+c ve b ile c ardışık iki sayıdır.
a çiftse:
a2/2=b+c ve b ile c ardışık iki sayıdır.







Dik üçgen

İç açılarından biri 90° olan üçgene dik üçgen adı verilir. Öklid geometrisinde, dik üçgenlerin kenarlarının uzunlukları Pisagor teoremi sağlarlar.

Açı ölçüsü 90° olan köşenin karşısındaki kenara hipotenüs denir. Diğer kenarlar dik kenarlar adını alırlar.
"

Yukarıdaki şekilde, bir dik üçgenin hipotenüsü üzerine çizilmiş bir kare ve bu karenin diğer üç kenarına çizilmiş, ilk dik üçgene [[Eş üçgen|eş]] dik üçgenler görülmektedir. Bu dört dik üçgen ve karenin birleşiminden ortaya çıkan şekil de bir karedir. Bu karenin alanı kenar uzunluğunun karesi <br>

<math> A = (a+b)^2</math><br>
<math> A = a^2 + 2ab + b^2</math><br>
ya da kareyi oluşturan şekillerin alanlarının toplamı<br>

<math> A = 4(ab/2) + c^2</math><br>
<math> A = 2ab + c^2</math><br>
biçiminde yazılabilir. Bu iki ifade birbirine eşitlenip sadeleştirmeler yapıldıktan sonra<br>
<math>a^2+b^2=c^2</math><br>
elde edilir. Kanıtlanması istenen de buydu.

Ayrıca bu dik üçgende a<b<c, a tekse:

a2=b+c ve b ile c ardışık iki sayıdır.

a çiftse:

a2/2=b+c ve b ile c ardışık iki sayıdır