Tam Sayilar

TAM SAYILAR

Tanım: 9 N, 7 N için 9 - 7 = 2 ’dir. Fakat 7 - 9 = x x  N. Bu yüzden Doğal Sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı değildir. Çıkarma İşleminde kapalılık özelliği olmadığı için de Doğal Sayılar birçok problemin çözümünde yetersizdir. Problemleri daha kolay çözebilmek amacıyla Doğal Sayıları da kapsayan, çıkarma işlemine göre kapalı olan ve toplama işlemine göre bir elemanın tersi bulunan daha geniş bir sayı kümesi tanımlanır. Bu küme Tam Sayılar olarak adlandırılır ve ‘Z’ ile gösterilir. Sayı doğrusunda ise;

Pozitif Tam Sayılar



-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7


Negatif Tam Sayılar


şeklinde gösterilir.
Tam Sayılar Kümesi = Z = {…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}
Pozitif Tam Sayılar Kümesi = Z+ = {1,2,…,n,…}
Negatif Tam Sayılar Kümesi = Z- = {…,n…,-2,-1}
1. {0} ne negatif ne de pozitif tam sayıdır.
Z = Z- ’dır.

Tam Sayılar Kümesi’nde İşlemler:

1. Toplama İşlemi’nin özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:
 a,b için a + b ’dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi Toplama İşlemi’ne göre kapalıdır.
Örn: (-6) + (+4) = (-2) 
(+9) + (-3) = (+6) 
b) Birleşme Özelliği:
 a,b,c  Z için a + (b + c) = (a + b) + c olur. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’nin birleşme özelliği vardır.
Örn: [(-7)+ (+5)] + (-4) = (-7) + [(+5) + (-4)]
(-2) + (-4) = (-7) + (+1)
(-6) = (-6)
c) Birim (Etkisiz) Eleman:
 a Z için a + 0 = 0 + a olduğundan “0” Tam Sayılar kümesi’nde Toplama İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanıdır.
Örn: (+8) + 0 = 8 = 0 + (+8)
(-4) + 0 = (-4) = 0 + (-4)



d) Ters Eleman Özelliği:
aZ için a + (-a) = 0 = (-a) + a olduğundan a’nın Tam Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’ne göre tersi a’dır ve her elemanın tersi vardır.
Örn: (+3) + 8-3) = 0 = (-3) + (+3)
e) Değişme Özelliği:
aZ için a + b = b + a olur. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi’nde Toplama İşlemi’nin değişme özelliği vardır.
Örn: (-9) + (+3) = (+3) + (-9)
(-6) = (-6)
• Bu beş özellik sağlandığı için (Z, +) sistemi Değişmeli Grup’tur.

2. Çıkarma İşlemi’nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:
 a,b için a - b Z’ dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi Çıkarma İşlemi’ne göre kapalıdır.
Örn: (-17) – (+9) = (-26) Z
b) Birleşme Özelliği:
Tam Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birleşme özelliği yoktur.
Örn: [(-13) – (+9)] - (-7) (-13) - [(+9) - (-7)]
(-22) - (-7)  (-13) - (+16)
(-15)  (-29)
c) Birim (Etkisiz) Eleman:
Tam Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı yoktur.
d) Ters Eleman Özelliği:
Tam Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı olmadığı için ters eleman özelliği de yoktur.
e) Değişme Özelliği:
Tam Sayılar Kümesi’nde Çıkarma İşlemi’nin değişme özelliği yoktur.
Örn: 23 – (-14)  (-14) – 23
37 

3. Çarpma İşlemi’nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:
 a,b için a . b Z’ dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi Çarpma İşlemi’ne göre kapalıdır.
Örn: 4 . 5 = 20Q
b) B-)Birleşme Özelliği:
 a,b,c  Z için a . (b . c) = (a . b) . c olur. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin birleşme özelliği vardır.
Örn: [5. (-3)] . 7 = 5 . [(-3) . 7]
(-15) . 7 = 5 . (-21)
-105 = -105
c) Birim (Etkisiz) Eleman:
 a Z için a . 1 = 1 . a olduğundan “1” Tam Sayılar kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanıdır.
Örn: -7 . 1 = -7 = 1 . -7
6 . 1 = 6 = 1. 6



d) Ters Eleman Özelliği:
Tam Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin ters eleman özelliği yoktur.
Örn: 4 . x = 1 = x . 4
x  Z
e) Değişme Özelliği:
aZ için a . b = b . a’dır. Bu yüzden Tam Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin değişme özelliği vardır.
Örn: -2 . 5 = 5 . -2
-10 = -10
f) Çarpma İşlemi’nin Toplama İşlemi Üzerinde Dağılma Özelliği:
a,b,cZ için (a . b) . c = a . (b . c) olduğu için Tam Sayılar Kümesi’nde Çarpma İşlemi’nin Toplama İşlemi üzerinde Dağılma Özelliği vardır.
Örn: (6 . 4) . 8 = 6 . (4 . 8)
24 . 8 = 6 . 32
192 = 192





4. Bölme İşlemi’nin Özellikleri:
a) Kapalılık Özelliği:
Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin kapalılık özelliği yoktur.
Örn: 8 : 4 = 2 Z
4 : 8 = x Z
b) Birleşme Özelliği:
Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin birleşme özelliği yoktur.



Örn: (60 : 10) : 5 60 : (10 : 5)
6 : 5 60 : 2
6 : 5  30









c) Birim (Etkisiz) Eleman:
Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin birim (etkisiz) eleman özelliği yoktur.




d) Ters Eleman Özelliği:
Tam Sayılar Kümesi’nde Bölme İşlemi’nin birim (etkisiz) elemanı olmadığı için ters eleman özelliği de yoktur.
e) Değişme Özelliği:
Tam Sayılar Kümesinde Bölme İşlemi’nin değişme özelliği yoktur.
Örn: 25 : 5  5 : 25
 5 : 25