Fonksiyonlar

A. TANIM
A A ve B olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.
x A ve y A B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A d B ya da x f(x) = y biçiminde gösterilir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)..ç (d, 3)}
biçiminde de gösterilir.
bbHer fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
HHGörüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
GGs(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
i. A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
ii. B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
iii. A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m . n – nm dir.
AAGrafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.
B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
f ve g birer fonksiyon olsun.
     f : A   IR 
     g : B   IR
olmak üzere,
i) f ± g: A B IR
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
ii) f . g: A Ç B IR
(f . g)(x) = f(x) . g(x)

C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.
n x1, x2 A için, f(x1) = f(x2)iken
x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.
s(A) = m ve s(B) = n (n s m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı

2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
f : A f B
f(A) = B ise, f örtendir.
ffs(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
aam! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.
3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
ddİçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
İİs(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı 
mm – m! dir.
4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
f : IR f IR
f(x) = x
birim (etkisiz) fonksiyondur.
bbBirim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.
5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
mmmx x A ve c B için
f : A ffB
f(x) = c
fonksiyonu sabit fonksiyondur.
ffs(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.
 
6. Çift ve Tek Fonksiyon
f : IR ffIR
f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
ttÇift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
ÇÇTek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
D. EŞİT FONKSİYON
f : A f B
g : A g B
x x A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
 
E. PERMÜTASYON FONKSİYONU
f : A f A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A AAA
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup

 
F. TERS FONKSİYON
f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur.



Uygun koşullarda, f(a) = b U f – 1(b) = a dır.
((f : IRfffIR, f(x) = ax + b ise, f – 1(x) = dır.
dd



(f – 1) – 1 = f dir.
(f – 1(x)) – 1 ––f(x) tir.
ffy = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.
ğğBBB IR olmak üzere,



B B IR olmak üzere,

 
G. BİLEŞKE FONKSİYON
1. Tanım
f : A f B
g : B g C
olmak üzere, gof : A o C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
(gof)(x) = g[f(x)] tir.
 
2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri
i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
fog ffgof
Bazı fonksiyonlar için fog= gof  olabilir. Fakat bu bileşke işleminin değişme özelliği olmadığını değiştirmez.
ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.
fo(goh) = (fog)oh = fogoh
iii)                  foI = Iof = f
olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.
iv)                    fof – 1 = f – 1of = I
olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.
v)                    (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir.