Trigono




TRİGONOMETRİ

Yönlü Açı :
Saat yelkovanının dönme yönünün tersine pozitif yön, saat yelkovanının dönme yönüne de negatif yön denir.






Açı Ölçü Birimleri :
Derece : Bir çemberin 360 da 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 derecedir.
1 derece 60 dakikadır. 1 dakika 60 saniyedir.
1o = 60 , 1 = 60==
Radyan : Bir çemberin, yarıçapının uzunluğundaki yayı gören merkez açı 1 radyandır.
Grad : Bir çemberin 400 de 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 grattır.




Esas Ölçü :
Derece cinsinden bir açının 360o ye bölümünden kalan, derece cinsinden esas ölçü, radyan cinsinden bir açının 2n ye bölümünden kalan, radyan cinsinden esas ölçü adını alır.

Trigonometrik Fonksiyonlar :
Açının sinüsü ve kosinüsü:
Birim çember üzerinde, AOP açısını gözönüne alalım. P noktasının apsisine açının kosinüsü, ordinatına da açının sinüsü denir.
x0 = cos , y0 = sin
Sonuç :
1. P noktası çember üzerinde ve yarıçapı 1 birim olduğu için;
-1 - cos 1 veya cos : R v [-1,1] dir.

Yani kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir. Aynı şekilde;

-1 - sin 1 veya sin : R v [-1,1] dir.

Yani sinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir.
2. x0 = cos ve y0 = sin olduğuna göre; cos22 + sin22= 1 dir.

Açının tanjantı ve kotanjantı :
Birim çemberin A noktasındaki teğetini inceleyelim. Bu durumda t bir reel sayı olmak üzere, T(1,t) noktası teğetin üzerindedir. T noktasının ordinatına AOT açısının tanjantı denir. t = tant dir.
Sonuç :
T(1,t) noktası teğet üzerindeki herhangi bir nokta için, t herhangi bir nokta olabilir. Dolayısıyla;
T={ IR ve /2 +k/, k, Z } için tan : T R dir.
Yani tanjant fonksiyonunun tanım kümesi (Y/2 +k/) hariç bütün gerçel sayılar, görüntü kümesi R dir.
)) K={ IR ve kk, k, Z } için cot : K R dir.
Yani tanjant fonksiyonunun tanım kümesi (k() hariç bütün gerçel sayılar, görüntü kümesi R dir.








TRİGONOMETRİ

Bir Dar Açının Trigonometrik Oranları

ABC dik üçkeninde:
c

b a a : karşı dik kenar uzunluğu
b hipotenüsün uzunluğu
A c B


c : karşı dik kenar uzunluğu
d hipotenüsün uzunluğu



a : karşı dik kenarın uzunluğu
c komşu dik kenarın uzunluğu



c = komşu dik kenarın uzunluğu şeklinde ifade edilir.
a karşı dik kenarın uzunluğu





Trigonometrik Oranlar Arasındaki Özellikler:

0<A<90 olmak üzere, birbirini 90 ye bağlayan iki açıdan birinin
sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir.
sin Â+cos Â= 1 dir. Sin Â= cos (90-Â)

Tan  . cot Â= 1 dir.

Birbirini 90 ye bağlayan iki açıdan birinin
Tanjantı, diğerinin kotenjantına eşittir.
tan Â= cot (90-Â)
sin Â
tanÂ= cos Â


cos Â
cotÂ= sin Â












Trigonometri Cetveli:

Trigonometrik oranlar tablosu incelenirse, şu özelliklerle karşılaşılır:
Bir dar açının ölçüsü 1 den 89 ye kadar artarsa:
Sinüsü 0,0175 ten 0,9998 e kadar artar,
Kosinüsü 0,9998 den 0,0175 e kadar azalır,
Tanjantı 0,0175 ten 57,2900 e kadar artar,
Kotenjantı 57,2900 den 0.0175 e kadar azalır.

Trigonometrik olayların artışı yada azalışı açı ile orantılı değildir. Yani açı 2,3,4,....... kat büyüdüğünde bunun kosinüsü de 2,3,4,....... kat büyümez.
ÖRNEK:
Cos 40=4cos10 dir.




KONU İLE İLGİLİ ÇIKMIŞ SORULAR
Örnek 1:
Sin10. Tan30. Cos20. Sin30 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Cos80. Cot60.sin70 (1996-DPY)

Çözüm:

Sin10=cos80
Tan30=cot60
Cos20=sin70 dir. Bunları, verilen ifadede yerine koyalım.
Cos80. Cot60. Sin70. Sin30
=
cos80.cot60. sin70

=sin30

Örnek 2: 15
0<s(x)<90 ve cos x= ise, tan x aşağıdakilerden hangisidir?
20 (1994 –FL)

Çözüm:

A Buna göre pisagor bağıntısından;
Y*=17*-15*
17 y*=289-225
y=8 birimdir. Veya 8,15,17 özel üçkeninden y nin 8 olduğunu
B 30 C bulabiliriz.
15 |ac| 8
buna göre tan x = = olur.
|bc| 15

ÖRNEK 3:
A
Şekilde [AH] [BC],
5 5
Tan B= ve tan c= ise,
8 13
B H C
ABC üçkeninin alanı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
(1991 – FL)
ÇÖZÜM:
h 5 8h
Tan B= = ise , p =
P 8 5

h 5 13h
Tan C= = ise, k =
k 13 5

8h 13h 21h
|BC| =P+K = + =
5 5 5
|BC| .|AH|
A(ABC) =
2

1 21h 21 21
A(ABC)= . .h = h* = |AH|* olur.
2 5 10 10


Örnek 4: Sin*x + cos*x = 1 olduğuna göre

Sin x – cos x ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir ?
Sin x – cos x
(1990 – FL)
Çözüm:
Sin x – cos x sin x – cos x
= =
(sin* x + cos* x) . (sin* x – cos* x) 1. (sin* x – cos* x)

(sin x – cos x)
=
(sin x + cos x) . (sin x – cos x)

1
= olur.
sin x + cos x


Örnek 5:

C Şekildeki ABC dik üçgeninde s(Â)=90 ve
A,b,c kenar uzunluklarını gösterdiğine göre,
(sin b)* + (sin c)* ifadesi aşağıdakilerden
B a hangisidir ?

(1993 – FL)

A c B

Çözüm:
b c
Sin(B) = ve sin(C) =
a a
b* c* b* + c*
(sin B)* 4 (sin C)* = + =
a* a* a*

pisagor bağıntısından a* = b* + c* olduğundan
a*
(sin B)* + (sin C)* = = 1 olur.
a*

Örnek 6:

Sin 30 . cos 60 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir ?
2 tan 45

A) 1 B) 1 C) 1 D) 1
2 4 8 14

Örnek 7:
Sin 53
1- ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir ?
cos 37

A) – 2 B) - 1 C) 0 D) 1
2 2


Örnek 8:
1
(cos x). (tan x) . ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir ?
sin x

A) 1 B) 0 C)cos x D) sin x

Örnek 9:
A
Şekildeki ABC üçkeninde, cotg B + cotg C =4 ve
|AH| = 3 cm ise, |BC| kaç cm dir ?
(1996-FL/AÖL)
3 cm

B C

A)8 B)10 C)12 D)14
Örnek 10:

D C Aşağıdakilerden hangisinde verilenlerle şekildeki
ABCD dikdörtgeninin çevresi bulunamaz ?

A) |AB| ile |BC| nin çarpımı
A a B B)|BC| ve sin a
C)|AC| ve sin a
D)|AB| ve |BC|