Ikinci Derece Bir Bilinmeyenli Denklemler ( Quadratik Denklemler)

İKİNCİ DERECE BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER ( QUADRATİK DENKLEMLER)
 
☺DERECE NEDİR?
Bir harfli ifadede en büyük kuvvet bu ifadenin derecesini verir.
X2Y3 → 3. derece
-7X5 + 6Y4 → 5. derece
2X4Y2 + 3z → 3 bilinmeyenli ve 4. derece
-X Y3 - 6x5 → 2 bilinmeyenli ve 5. derece
 
☺2.DERECE denklem NEDİR?
 
İkinci derece bir bilinmeyenli denklemler ax2 + bx + c = 0 şeklindedir.
Burada a , b ve c sayıları reel sayıdır. a sayısı sıfırdan farklı olmalıdır.
Çünkü a = 0 olursa denklem bx + c = 0 şekline dönüşür ve birinci derece denklem olur.
 
☺KÖK NEDİR?
Denklemin gösterdiği eşitliği sağlayan sayılara denklemin çözümü ( kök )denir.
Örneğin 1 ve 2 sayıları x2 - 3x + 2 = 0 denkleminin kökleridir.
Çünkü denklemde x yerine bu sayıları koyarsak :
x = 1 için 12 - 3.1 + 2 = 0
x = 2 için 22 - 3.2 + 2 = 0 denklemin gösterdiği eşitlik gerçeklenir.
Fakat x = 3 sayısı bu denklemin bir kökü değildir.
x = 3 için 32 - 3.3 + 2 = 0
2 ≠ 0
Denklemin gösterdiği eşitlik x = 3 için doğru değildir.
Bir denklemin en fazla derecesi kadar reel kökü olabilir. Bunun sonucu olarak ikinci derece denklemin en fazla 2 tane reel kökü vardır.
 
☺KÖKLERİ NASIL BULURUZ?
1.     Denklem çarpanlarına ayrılabiliyorsa her bir çarpanın kökünü buluruz.
Örneğin x2 - 4x + 3 = 0 denkleminin köklerini bulalım.
(x - 1 )(x - 3) = 0



Denklemin kökleri x = 1 ve x = 3 dür. Çözüm kümesini
Ç = { 1 , 3 } şeklinde yazarız.
Örnek : 2x2 + 5x - 3 = 0 denkleminin köklerini bulalım.
 






 
 
Denklemin kökleri x = 1/2 ve x = - 3 dür. Çözüm kümesini Ç = { 1/2 , -3 } şeklinde yazarız.


Örnek : y4 - y2 + 1 = 0 denkleminin köklerini bulalım.



y2 = 1 için y = ± 1 olur.
 
Denklemin kökleri y = 1 ve y = -1 dir. Çözüm kümesini Ç = { -1 , 1 } şeklinde yazarız.
 
☺ÖDEVLER : Aşağıdaki denklemlerin köklerini çarpanlara ayırarak bulunuz.
1. x2 - 5x + 6 = 0 2. - x4 + 4x - 4 = 0
x2 - 5x + 4 = 0 x6 - 2x3 + 1 = 0
x2 + x - 6 = 0 y2 - 2yx + x2 = 0
2x2 - 6x - 20 = 0 2y2 + y - 15 = 0
x2 - 9 = 0 6x2 - 7x + 2 = 0
 
AyrıCa denklemi Tam KAREYE tamamlayarak kökleri bulmak da MÜMKÜNDÜR.
☺Quadratik Denklemler : Tam kare metodu

Tam kare Nedir?
• •        •        •        •        •        ·        ·        ·        ·        1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , ... şeklindeki sayılar tam kare sayılardır.
• •        •        •        •        •        ·        ·        ·        ·      ( x - 3 )2  , x2 , ( x + y )2 ve 4x2 şeklindeki ifadeler tam kare ifadelerdir.
Tam kare ifadelerin köklerini bulmak oldukça kolaydır.
Örneğin ( 3x – 1 )2 = 9 denklemini çözelim.
Her iki tarafın karekökünü alırsak
( 3x – 1 ) = x 3 olur.
i. 3x – 1 = 3 yazarsak
3x = 4
x = 4/3 birinci köktür.
ii. 3x – 1 = - 3 yazarsak
3x = - 3 + 1 = -2
x = -2 / 3 ikinci köktür.
Verilen bir ifadeyi tam kareye tamamlamak için bazı cebirsel işlemler yaparız.
Örnek x2 – 8x + 7 = 0 denklemini çözelim.
x2 – 8x + 7 = 0 denkleminin sabit sayısı 16 olsaydı denklem x2 – 8x + 16 = ( x – 4 )2 = 0 şeklinde tam kare olurdu.
Bu nedenle denklemi tam kareye tamamlamak için sabit sayısına 9 ekleyip çıkarırız.
x2 - 8x + 7 + 9 – 9 = ( x2 – 8x + 7 + 9 ) - 9 = ( x – 4 )2 – 9 = 0
( x – 4 )2 = 9
x – 4 = 3
i. x – 4 = 3 yazarsak
x = 7 birinci köktür.
ii. x – 4 = - 3 yazarsak
x = - 3 + 4 = 1
x = 1 ikinci köktür.
Bu işlemi kural haline getirelim :
KURAL : x2 + bx + c = 0 denklemine ( b/2 ) 2 SAYISINI EKLEYİP ÇIKARIRSAK DENKLEM TAM KARE OLUR.
ÖRNEK :
2x2 + 8x + 2 = 0 denklemini çözelim.
ÇÖZÜM :
Önce denklemi 2 ye bölelim. x2 + 4x + 1 = 0
b = 4 ve b/2 = 2 olur. ( b/2 ) 2 = 4 olur.
Denkleme 4 ekleyip 4 çıkaralım.
x2 + 4x + 1 + 4 - 4 = 0
Denklemi düzenlersek
( x2 + 4x + 4 ) - 3 = 0
( x + 2 )2 - 3 = 0 olur.
( x + 2 )2 = 3 yazıp karekök alırız.
x + 2 = 3 bulunur.
x = -2 3 köklerdir.
ÖDEVSİZ OLURMU?
Aşağıdaki denklemleri tam kareye dönüştürüp çözünüz.
x2 + 4x + 2 = 0
4x2 + 4x + 4 = 0
 x2 + x + 2 = 0
 x2 - 4x + 2 = 0
2x2 + 2x - 4 = 0
 
☺☺Quadratic Denklemler : Diskriminant ile Çözüm





Formül nasıl çıkmış?

olduğundan denklemi önce a ile böleriz.
 
 
 
Sonra,
 
 
tam kareye tamamlamak için ekleyip çıkarırız.
 
 

 
Her iki yanın kare kökünü alırsak,

veya

Bu yazılışa quadratik çözüm denir.
 
 
Bu çözümleri ve şeklinde ayrı da yazılabilir.
 
 
ÖRNEK :
 
ÇÖZÜM : a = 2, b = -3 ve
 


 
☺☺ Köklerin Analitik İncelemesi

Quadratik denklemlerin üç durumunu inceleyeceğiz.
1.                                                                  yani iki eşit kök varsa denklem :
                                                             
( x – A )2 = 0 şekline gireceği için
fonksiyonunun işaretini a nın işareti belirler.
a < 0
a > 0

 


 
2 .
 
Yani iki kök varsa bu durumda denklemin grafiği x eksenini iki noktada keser. Bu durumda fonksiyonun grafiği aşağıdaki şekillerden
biri gibi olur. Kökler arası işareti a nın tersi olur.
a < 0
a > 0


 
 
 
3 .
 
Yani denklemin reel kökü yoksa fonksiyonunun işareti a nın işareti ile aynıdır.
 
 

a < 0
a > 0