Işlem Ve Özellikleri-098

 İŞLEM VE ÖZELLİKLERİ

İŞLEM

A,B ve C boş kümeden farklı olmak üzere AxB nin bir alt kümesinden C’ye her tanımlı fonksiyona işlem denir.

A ≠ Ø olmak üzere A x A’nın bir ß alt kümesinden A’ya tanımlanan fonksiyona A da bir işlem denir. İşem çeşitli sembollerle gösterilir bunlar ; +,○,■,▲ dır.



İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ


1.Kapalılık Özelliği:

“○” B kümesinde tanımlı bir işlem olsun. “ a,b B iken a○b B ise B kümesi “○” göre kapalıdır.

Örnek: B -2,1,3,4- kümesinde “○” işlemi , a○b (a b) - 3 şeklinde tanımlanmaktadır.
Buna göre “○” işlemine göre B kümesi kapalı mıdır?

Çözüm: Ç-2,1- alınan için -2○1 (-2(1) - 3 , -2○1 1 -1-(-3)
-4

- 4 4 B olduğu üzere B kümesi ” işlemine göre kapalı değildir.


2.Birleşme Özelliği:

“○” B kümesinde tanımlı bir işlemdir.
a,b,c B iken (a○b)○c ( a○(b○c) şeklinde ise B kümesinde “○” işleminin birleşme özelliği vardır.

Örnek: a,b,c Ö R için a○b R 3a37b şeklinde bir işlem tanımlanıyor.
Buna göre “○” işleminin birleşme özelliği var mıdır?

Çözüm: (a○b)○c Ç (3a(7b)○c a○(b○c) 7 a○(3b 7c)
3(3a 7b)7 7c 7 3a 7(3b77c)
9a921b27c 7 3a 21b249c

(a○b)○c ≠ a○(b○c)
9a 21b27c ≠ 3a 21b249c

Bundan dolayı “○” işlemini birleşme özelliği bulunmamaktadır.






3.Değişme Özelliği:

“○” B kümesinde tanımlı bir işlemdir.
“ a,b B iken a○b a b○a şeklinde tanımlanabiliyor ise B kümesinde “○” işleminin değişme özelliği vardır.

Örnek: R’ de a○b Ö 4a-2b şeklinde bir “○” işlemi tanımlanıyor.
Buna göre “○” işleminin değişme özelliği var mıdır?

Çözüm: a○b Ç 4a-2b a○b 4 b○a a○b b b○a ifadesi a b b durumunda sağlanır.
b○a 4b-2a 4a-2b 4 4b-2a Bu yüzden “○” işleminin değişme özelliği
6a 6b yoktur.



4.Etkisiz (Birim) Eleman:


“○” B kümesinde tanımlı bir işlemdir.
“ a B iken a○e a e○a e a olacak şekilde e a B bulunuyorsa, e “○” işleminin etkisiz elemanı olarak adlandırılır.

Örnek: Reel sayılarda tanımlanan a○b Ö a a 3b-14ab işlemin etkisiz elemanı nedir?

Çözüm: a○e Ç e○a e a olacak şekilde a○e a a a 3e-14ae 3 a
3e-14ae a-a
e (3-14a) 0
e 0
3-14a e 0



5.Ters Eleman:

“○” B kümesinde tanımlı bir işlemdir ve e “○” işleminin B kümesinde birim elemanı olması üzerine ,
a a B olacak şekilde a○b B b○a b e ise “○” işlemine göre b dir ve a-1 b şeklinde gösterilir.

Örnek: Reel sayılarda a○b 3a 3b-2ab33 şeklinde bir “○” işlemi tanımlanıyor. Buna göre 2’nin tersi nedir? 5


Çözüm: a○e Ç 3a 3e-2ae33 3 a 3a3e-2ae-3 a 5a
5 e (3-2a) 2a-3
e 2a-3 a ≠ 3/2 , e / -1
3a-2

2’nin tersini “c” kabul edelim.

2○c c○2 -1 2○c 3.233c-2.2.c33 -1 9-c = -5
5 c =14 2 -1 = 14


6.Yutan Eleman:

“○” B kümesinde tanımlı bir işlemdir.
” a B iken a○b B b○a b b şeklinde tanımlanan işlem için b b B ‘ler varsa b ye “○” işleminin yutan elemanı adı verilir.

Örnek: R’de a○b Ö 3a3bb15ab şeklinde bir “○” işemi tanımlanmaktadır.Buna göre bu işlemin yutan elemanı nedir?

Çözüm: a○b Ç b○a b b a○b b 3a3bb15ab 1 b
a (3 15b) 1 b-b
3 15b 1 0
b - 1
5

7.Dağılma Özelliği:

“○” ve ““” B’ de tanımlı işlemdirler.
” a,b,c B için a B (b○c) (a(b) ○ (abc) ve (b○c) c a a (a(c) ○ (acb) olabiliyorsa B’ de “b” işleminin “○” işlemine dağılma özelliği vardır.

Örnek: R’ de tanımlı aÖb b a.b
a○b aab
şeklinde iki işlem tanımlanmaktadır.Buna göre “ş” işleminin “○” işlemi üzerine dağılma özelliği olduğunu gösteriniz.

Çözüm: a Ç (b○c) (a(b) ○ (abc) (acb) ○ (abc) c a.b ○ a.c
a (b○c) a a (b c)
a . (bac) Buna göre dağılma özelliği vardır.
a.b a a.c olur.




ÖNEMLİ BİLGİLER


1. “○” işlemi B kümesinde kapalı olmak üzere , B kümesinin “○” işlemine göre en çok bir tane etkisiz elemanı bulunur.

2. Toplama işleminin etkisiz elemanı e T 0
Çarpma işleminin etkisiz elemanı e Ç 1
Kümelerde “ ∩ “ işleminin birim elemanı evrensel (E) kümedir.
Çünkü A ∩ E ∩ E ∩ A ∩ A dır.
Kümelerde birleşim işleminin etkisiz elemanı Ø dir.
Çünkü A Ø Ø Ø Ø A A dır

3. Bir kümede tanımlı bir işlemin yutan elemanı varsa , yutan elemanın tersi yoktur.








1