Sayılar Arasında Yolculuk

Rakamların nasıl oluştuğunu, bugün kullandığımız şeklini ne zaman aldığını biliyor musunuz? Hiç merak ettiniz mi? Fransa'da 6. Sınıf öğrencileri bir gün kendi aralarında rakamların nereden geldiğini çok merak ettiklerini tartışıyorlarmış. Matematik öğretmenleri de tartışmaya katılmış. O da rakamların bu gün kullandığımız şeklini ne zaman aldığı ile ilgili soruya bir yanıt verememiş. Hemen orada bu konu ile ilgili araştırma yapamaya karar vermiş. Bu konuda 2000 sayfalık 2 ciltlik dev bir eser ortaya çıkarmış. Basit bir merak matematiğe çok önemli bir eser kazandırmış. Rakamlar bizim kullandığımız durumuna gelinceye dek bir çok evreler geçirmiştir. Biz, bu açıdan çok şanslıyız. Çünkü, her şey önümüze hazır geldi.

Bir öğretmene sormuşlar. "İlkokula yeni başlayan öğrenciler daha ilk günde aritmetik hakkında ne bilmeleri gerekir?" o da " 1 den 100 e kadar olan sayılarla dost olması gerekir." demiştir. Sayılarla nasıl dost olabiliriz? Bu en azından toplama işlemini görünce paniğe kapılıp terlemeye başlamamak demektir. Sayılara her zaman her yerde rastlarız. Bazı özeliklerini ve en azından aralarındaki bazı ilişkileri biliyoruz. Onlarla ilgili bir çok şey öğrendik ve bu gerçeklerin bir bölümünü biz kendimiz keşfettik. Hepimiz beynimizde sayılarla ilgili gerçekleri saklarız. Örneğin 144, 12 nin karesidir. 169, 13 ün karesidir. 16, 32,64,128 ve 512 sayıları 2 nin tam kuvvetleridir. Bilgisayar meraklıları, bilgisayar belleklerinin tanımında ve bilgisayar etiketlerinde geçtiği için bu sayıları iyi tanırlar.

Hardy 1729 no lu taksiyle geldiğini ve bu numaranın ona kendisi için önemsiz gözüktüğünü ve uğursuz bir şey olmamasını umduğunu söyleyince Ramanajuan hemen şu yanıtı verdi."Hayır, bu çok ilginç sayıdır; bu iki küp toplamı olarak farklı iki şekilde ifade edilebilen sayıların en küçüğüdür." 1729=12³ +1³=10³+9³

Sayılarla çalışan herkes, doğal olarak bir çok yararlı bilgileri depolar. Hepimiz 9 un tek basamaklı kare sayıların en büyüğü olduğunu biliriz. Bu çok önemli mi? Hayır. Fakat şunu da fark edersiniz; kare olan sayıdan 1 çıkarınca elde edilen sayı, aralarındaki fark iki olan iki doğal sayının çarpımıdır. Örneğin; 16-1=15 ve 15 =3.5 benzer olarak siz de böyle bir çok sayı bulabilirsiniz.

En çok tanıdığımız sayılar karelerdir;

1 4 9 16 25 36 49 64

Bu kareler arasındaki farkın gitgide büyümesi dikkatimizi çeker.



1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ...

3 5 7 9 11 13 15 17 19



Bir de bakıyorsunuz kare sayıların farkları, tek sayılar dizisinden başka bir şey değil.

Bu düşünceyi daha önce sözünü ettiğimiz 2 nin kuvvetleri ile deneyebiliriz.

2 4 8 16 32 64 128 256 ...

2 nin her kuvveti solundaki sayının iki katıdır. Bu bize 2 nin soluna 1 yazmamız gerektiğini anlatır.

1 2 4 8 16 32 64 128 256 ...



Şimdi de farkları yazalım:

1 2 4 8 16 32 64 128 256 ...

1 2 4 8 16 32 64 128 256 ...

Görüyoruz ki farklar dizisi orijinal dizinin tekrarı oluyor. Demek ki kareler dizisinden hayli farklı bir dizi ile karşılaştık sorusunun yanıtı hayırdır.

Küpler dizisini düşünelim:

1 8 27 64 125 216 343 512 ...

Bu dizi kareler dizisinden daha çabuk büyüyor. Ne kadar hızlı büyüdüğünü fark etmek için farklarını yazalım.



1 8 27 64 125 216 343 512 ...

7 19 37 61 91 127 169

12 18 24 30 36 42

En alt dizi farkların farkıdır. O da artıyor ama o kadar hızlı değil. Her seferinde 6 artıyor. Böyle örnekleri çoğaltabiliriz. Hatta matematikçiler son yazdığımız diziye bakarak diğer tüm dizilerde 6 nın gizini aramışlardır. Örneğin; küplerin farkını şöyle yazmışlar:

1 8 27 64 125 216 343 512 ...

1x6+1 3x6+1 6x6+1 10x6+1 15x6+1 21x6+1 28x6+1

Bu durumda 6 nın çarpıldığı sayıların bir özelliği olduğundan şüphelenilir. 6 nın çarpıldığı sayıları sırasıyla yazalım.

1 3 6 10 15 21 28 36 45 ...

Matematikçiler problemler hakkında şöyle derler: "Bir problem diğerine yol açar ve bir doğru düşünce bir çok düşünceye götürür insanı."

Şimdi bu dizinin oluşturduğu sayıların farkına bakalım:



1 3 6 10 15 21 28 36 45 ...

2 3 4 5 6 7 8 9 ...

6 ile çarpılan sayılar dizisi arasındaki farkların farkları bizi 1 in eksik olduğu doğal sayılar dizisine götürür. Bu özellik bize dizinin 1 le başlaması gerektiğini düşündürür. Bu ise ancak küpler dizisinin 0 ile başlaması ile mümkündür. Bakın sayılar arasında yaptığımız yolculuk bizi nasıl ilginç sonuçlara götürdü. Böyle bir çok modeller oluşturabiliriz.

Fransız bir hakim olan Fermat matematikle amatörce uğraşıyordu. O da sayıların arasındaki bazı gizleri keşfetmişti. Fermat her tam sayının dört karenin toplamı olduğunu ileri sürmüştü. Fakat bir çok tam sayı ise dörtten az karenin toplamıdır. Fakat 7 asla üç karenin toplamı değildir.

İngilizce'de "Ne demek istediğini anlıyorum" yerine " Ne demek istediğini görüyorum" derler. Modern İngilizce'de "görmek" ekseriya "anlamak" yerine kullanılır. Matematikte görüş, doğruca önümüzdeki bir şeye bakmaktan mecazi anlamda "görmeye" kadar değişir. Sylvester, matematiğin "farkların benzerliği ile benzerliklerin farkını anlamak" olduğunu söyler. Matematikçiler ilişkileri ve bağlantıları görürler, ayrıca fark edilmesi zor özellikleri de algılarlar. Bunu geometride grafikleri çizerken aritmetik ve cebirde olduğu kadar kolaylıkla yaparlar.

Şimdi bazı matematik bilmecelerinin yanıtlarını birlikte arayalım:



1. 1 den daha küçük olan en büyük sayı nedir?

2. Hepimiz farklıyız, sonsuz sayıdayız, hepimiz birbirimize eşitiz.

3. Bir üçgenin merkezi neresidir?

4. Ben bir sayıyla o sayıyı daha küçük veya daha büyük yapmadan çarpılırım. Ben neyim?

5. Kendimle çarpılınca kendime eklenirim. Ben neyim?

6. Sürekli dönerim ama asla çıkış noktasına ulaşamam.



Soruların yanıtını verdikten sonra biraz düşünelim. Matematik yaşam boyu yaptığımız en güzel yolculuktur. Sayıla bizi bir çok bilinmeyenin içinde gezdirir ve çoğu kez yolculuğumuz bilinenlerin içinde sona erer.

Matematik ister günlük yaşamda saymak ve ölçmekte, ister problem ve bilmeceleri çözmekte, ister füzeler, yüzen cisimler, kaldıraçlar, teraziler veya manyetik kuvvet çizgilerini bilimsel olarak incelemekte kullanılsın, eninde sonunda köklerinden kopar ve kendi yaşamını yaşamaya başlar. Böyle yapmakla daha kuvvet kazanır; çünkü artık yalnız belli durumlarda değil, benzer bütün durumlarda kullanılacaktır. Böylece daha soyut daha oyunvari olur. Sonra ne olur? Deneyim arttıkça oyun daha iyi oynanır. İlk bulunduğunda şaşırtıcı olan sonuçlar; giderek daha tanıdık, açık, hatta apaçık hal alır. Artık esrarlı ve uğraştırıcı bir yanı kalmamıştır. Giderek daha fazla sayıda problem standart yöntemlerle çözülecektir. Ve böylece kullanılabilen tekniklerin ufku genişleyecektir. Bu nedenle uygulamalar giderek kolaylaşacak ve en kuvvetli matematikçilerin dikkatini gerektiren zor ve uğraştırıcı problemleri bulmak zorlaşacaktır.

Rakamların günümüze değin yapmış olduğu yolculuğu incelersek bu gün ne denli şanslı olduğumuza seviniriz ...